Funciones!

Definición De Función: Una función relaciona cada elemento de un conjunto

con exactamente un elemento de otro conjunto(puede ser el mismo conjunto).

Dominio y rango

Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función:

	Lo que puede entrar en una función se llama el dominio
	Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio
	Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen

Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango.

Parte de la función

Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio.

De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente.

Ejemplo: una simple función como f(x) = x² puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}

Y otra función g(x) = x² puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}

	Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan en conjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas diferentes.
	También tienen diferentes propiedades. Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4)

Así que el dominio es una parte muy importante de la función.

Codominio y rango

El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo mismo.

El codominio es el conjunto de valores que podrían salir.

El rango es el conjunto de valores que realmente salen.

Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros (porque tú lo eliges así).

Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enteros pares.

Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares.

Así que rango es un subconjunto del codominio.

¿Por qué los dos? Bueno, a veces no conoces exactamente el rango (porque la función es complicada o no es conocida del todo), pero sabes el conjunto en el que está (como los enteros o los reales). Así que defines el codominio y sigues trabajando.

La importancia del codominio

Déjame que te haga una pregunta: ¿la raíz cuadrada es una función?

Si tú dices que el codominio (las salidas posibles) es el conjunto de los números reales, ¡entonces la raíz cuadrada no es una función! ... ¿te sorprende?

La razón es que podría haber dos respuestas para una entrada, por ejemplo f(9) = 3 o -3

Una función debe ser univaluada. No puede dar 2 resultados para el mismo valor de entrada. ¡Por ejemplo "f(2) = 7 o 9" no está bien!

Pero se puede arreglar simplemente limitando el codominio a los números reales no negativos.

√De hecho, el símbolo radical (como en √x) siempre significa la raíz cuadrada positiva (la principal), así que √x es una función porque su codominio es correcto.

Así que el codominio que elijas puede afectar el que algo sea o no una función.

Función Por Tramos O Segmentada:

•          Una función compuesta por varias funciones que determinan una sola.
•          Contiene condiciones.
•          Las condiciones están dadas en desigualdades.
•          Desigualdades se representan por los símbolos.

<.. Menor Que

>.. Mayor Que

≤.. Menor O Igual Que

≥.. Mayor O Igual Que

                              §      Desigualdades: se determinan intervalos.

o   (-∞; +∞)

o   (-∞;∞+)

o    X >  a … (a;∞+)

o   X ≥ a … [ a; +∞)

o    X < a … (-∞; a)

o   X  ≤ a … (-∞;a)

§      Intervalos: Es un conjunto de reales determinado por externos.

o   Intervalo Abierto:  a < x < b        (a;b)

o   Intervalo Cerrado: a ≤ x ≤ b         [a;b]

o   Intervalo Semi-abierto: a < x ≤ b     (a;b]

o   Intervalo Semi-cerrado: a ≤ x < b      [a;b)