Graficas De Las Funciones

Angulos Notables :)

Ángulos notables

Razones trigonométricas de ángulos notables

Razones trigonométricas de 30º

Un triángulo equilátero queda dividido, mediante la altura, en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos

miden 90º, 60º y 30º.

Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene la altura en función del lado:

Razones trigonométricas de 60º

Razones trigonométricas de 45º

Un cuadrado queda dividido, mediante la diagonal, en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 45º y 45º.

Aplicando el teorema de Pitágoras se obtienela diagonal en función del lado:

Triangulos! :)

TRIÁNGULO

Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.
En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos : interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).
Consideraciones :

• En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.
• En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
• Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.
• Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendidos.
• Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.
• En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
• Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.
• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

C L A S I F I C A C I Ó N   D E   L O S   T R I Á N G U L O S
Según sus lados Equiláteros (sus tres lados iguales) Isósceles (dos lados iguales y uno desigual) Escaleno (tres lados desiguales)
Según sus ángulos Rectángulos (un ángulo recto) Acutángulos (tres ángulos agudos) Obtusángulos (un ángulo obtuso)

 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Hipotenusa : a

Catetos : b y c

Proyección del cateto b : P_b

Proyección del cateto c : P_c

Altura : h

Ángulo recto : = 90º

Ángulos agudos : 

Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que

a² + b² = c²

Razones trigonométricas 

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

• La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

• La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

• La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

Angulos !!

Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. 

• Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), se considera el ángulo positivo. 

• Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Se clasifican en Coterminales y en posición normal.

• Coterminales: Aquellos que tienen el mismo lado final. Tienen que haber dos o mas. 

• En Posicion Normal: Aquellos que nos ayudan a determinar el cuadrante al que pertenece el angulo.

Medición de ángulos

• Sistema sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.

                        Se debe tener en cuenta: 

60' Minutos

60'' Segundos

• Sistema Cíclico: Unidad medida en RADIAN 

Se debe tener en cuenta que:

· 180º = π rad

· 360º = 2π rad

· 90º = π/2 rad

Funciones!

Definición De Función: Una función relaciona cada elemento de un conjunto

con exactamente un elemento de otro conjunto(puede ser el mismo conjunto).

Dominio y rango

Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función:

	Lo que puede entrar en una función se llama el dominio
	Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio
	Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen

Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango.

Parte de la función

Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio.

De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente.

Ejemplo: una simple función como f(x) = x² puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}

Y otra función g(x) = x² puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}

	Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan en conjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas diferentes.
	También tienen diferentes propiedades. Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4)

Así que el dominio es una parte muy importante de la función.

Codominio y rango

El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo mismo.

El codominio es el conjunto de valores que podrían salir.

El rango es el conjunto de valores que realmente salen.

Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros (porque tú lo eliges así).

Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enteros pares.

Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares.

Así que rango es un subconjunto del codominio.

¿Por qué los dos? Bueno, a veces no conoces exactamente el rango (porque la función es complicada o no es conocida del todo), pero sabes el conjunto en el que está (como los enteros o los reales). Así que defines el codominio y sigues trabajando.

La importancia del codominio

Déjame que te haga una pregunta: ¿la raíz cuadrada es una función?

Si tú dices que el codominio (las salidas posibles) es el conjunto de los números reales, ¡entonces la raíz cuadrada no es una función! ... ¿te sorprende?

La razón es que podría haber dos respuestas para una entrada, por ejemplo f(9) = 3 o -3

Una función debe ser univaluada. No puede dar 2 resultados para el mismo valor de entrada. ¡Por ejemplo "f(2) = 7 o 9" no está bien!

Pero se puede arreglar simplemente limitando el codominio a los números reales no negativos.

√De hecho, el símbolo radical (como en √x) siempre significa la raíz cuadrada positiva (la principal), así que √x es una función porque su codominio es correcto.

Así que el codominio que elijas puede afectar el que algo sea o no una función.

Función Por Tramos O Segmentada:

•          Una función compuesta por varias funciones que determinan una sola.
•          Contiene condiciones.
•          Las condiciones están dadas en desigualdades.
•          Desigualdades se representan por los símbolos.

<.. Menor Que

>.. Mayor Que

≤.. Menor O Igual Que

≥.. Mayor O Igual Que

                              §      Desigualdades: se determinan intervalos.

o   (-∞; +∞)

o   (-∞;∞+)

o    X >  a … (a;∞+)

o   X ≥ a … [ a; +∞)

o    X < a … (-∞; a)

o   X  ≤ a … (-∞;a)

§      Intervalos: Es un conjunto de reales determinado por externos.

o   Intervalo Abierto:  a < x < b        (a;b)

o   Intervalo Cerrado: a ≤ x ≤ b         [a;b]

o   Intervalo Semi-abierto: a < x ≤ b     (a;b]

o   Intervalo Semi-cerrado: a ≤ x < b      [a;b)